Mann-Whitney-U-Test / Wilcoxon Rangsummen-Test für unabhänige Stichproben

Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied in der zentralen Tendenz zwischen “gut trainierten” und “untrainierten” Teilnehmnern in Punkto körperlichen Wohlbefinden.

H0: Es gibt keinen Unterschied in der zentralen Tendenz zwischen “gut trainierten” und “untrainierten” Teilnehmnern in Punkto körperlichen Wohlbefinden.

Voraussetzungen des Mann-Whitney-U-Tests

Die abhängige Variable ist mindestens ordinalskaliert -> Körperliches Wohlbefinden wurde nur einmal erfragt. Es handelt sich um eine sub. Einschätzung.

Es liegt eine unabhängige Variable vor, mittels der die beiden zu vergleichenden Gruppen gebildet werden. (untrainierte vs trainierte Gruppe)

Bei diesen Ausprägungen eignet sich der U-Test:

• kleine Stichproben
• Ausreisser
• ordinalskalierte Daten
• keine Normalverteilung

Boxplot

myColors <- c("deepskyblue", "pink2")
boxplot(u$kWohlbefinden ~ u$Trainingstatus , 
    col=myColors , 
    ylab="körperliches Wohlbefinden" , xlab="- Trainingstatus -")

ggplot(u, 
       aes(x =Trainingstatus,
           y = kWohlbefinden)) +
  geom_boxplot() +
  theme(panel.background = element_rect(size = 0.5, fill = "grey", colour = "darkgrey", linetype='solid')
        )+
  labs(y="körperliche Wohlbefinden", x = "Trainingstatus")

NA
NA

Deskriptive Statistik

library(dplyr)

Paket 㤼㸱dplyr㤼㸲 wurde unter R Version 3.6.3 erstellt
Attache Paket: 㤼㸱dplyr㤼㸲

The following objects are masked from 㤼㸱package:stats㤼㸲:

    filter, lag

The following objects are masked from 㤼㸱package:base㤼㸲:

    intersect, setdiff, setequal, union

u %>%
group_by(Trainingstatus) %>%
  summarize(Anzahl = n(), Median = median(kWohlbefinden)) %>%
  mutate_if(is.numeric, round, 2)

`summarise()` ungrouping output (override with `.groups` argument)

Alternativ

library(psych)

Attache Paket: 㤼㸱psych㤼㸲

The following objects are masked from 㤼㸱package:ggplot2㤼㸲:

    %+%, alpha

describe.by(u$kWohlbefinden, group = u$Trainingstatus, mat = TRUE)

describe.by is deprecated.  Please use the describeBy function

Es ist zu erkennen, dass sich der Median der beiden Gruppen unterscheidet. Die Gruppe “untrainierte Teilnehmer” haben einen Median von 35 und die Teilnehmer “gut trainiert” haben einen Median von 58.5. Damit fühlen sich die gut trainierten Teilnehmer körperlich wohler als die Teilnehmer, die untrainiert sind.

Ergebnisse des Mann-Whitney-U-Tests

In R gibt es den asymptotische Signifikanz aus, als auch eine exakte Signifikanz. In Abhängigkeit von der Stichprobengrösse wird der eine oder andere Wert berichtet:

Ist die Stichprobe hinreichend gross (n1 + n2 > 30), so wird die asymptotische Signifikanz verwendet.

wilcox.test(u$kWohlbefinden~ u$Trainingstatus, exact = FALSE)

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  u$kWohlbefinden by u$Trainingstatus
W = 101, p-value = 0.01816
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Ist dies nicht der Fall, so wird die exakte Signifikanz verwendet.

testwil<-  wilcox.test(u$kWohlbefinden~ u$Trainingstatus)
testwil

    Wilcoxon rank sum test

data:  u$kWohlbefinden by u$Trainingstatus
W = 101, p-value = 0.0158
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Der Unterschied zwischen den Gruppen ist signifikant (W = 101, p = .015, n = 23).

Berechnung der Effektstärke

\[r=\left\| \frac{z}{\sqrt{n}} \right\|\]

Zstat<-qnorm(testwil$p.value/2)
sprintf("Z-Wert für den U-Test : %.2f", Zstat)

[1] "Z-Wert für den U-Test : -2.41"

daten <- nrow(u)
sprintf("Anzahl der Daten: %.f", daten)

[1] "Anzahl der Daten: 23"

eff <- abs(Zstat/sqrt(daten))
sprintf("Effektstärke: %.2f", eff)

[1] "Effektstärke: 0.50"

Zur Beurteilung der Groesse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

\[ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.30 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.30 &= ||r|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.30 &< ||r|| < 0.50 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.50 &= ||r|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.50 &< ||r|| \end{align} \]

Damit entspricht eine Effektstärke von .50 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Es gibt einen signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen und dem Wohlbefinden - Mann-Whitney-U-Test (W = 101, p = .015). Gut trainierte Teilnehmer weisen ein höheres körperliches Wohlbefinden auf (Median = 58.5, N = 14) als die untrainierten Teilnehmer (Median = 35 , N = 9). Mann-Whitney-U-Test (W = 101, p = .015). Die Effektstärke nach Cohen (1992) liegt bei r = 0.5 und entspricht einem starken Effekt. H0 kann verworfen werden.

Kompakt: Gut trainierte Teilnehmer weisen ein signifikant höheres körperliches Wohlbefinden auf (Median = 58.5, N = 14) als die untrainierten Teilnehmer (Median = 35 , N = 9) - Mann-Whitney-U-Test (W = 101, p = .015). Die Effektstärke nach Cohen (1992) liegt bei r = 0.5 und entspricht einem starken Effekt. H0 kann verworfen werden.