Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Die Korrelation, auch bivariate Korrelation oder Produkt-Moment-Korrelation genannt, beschreibt den Zusammenhang von zwei intervallskalierten Merkmalen/Variablen einer Zufallsstichprobe. Eine Möglichkeit, die Stärke des Zusammenhangs zu bestimmen, ist die Berechnung des Korrelationskoeffizienten r nach Bravais und Pearson. Voraussetzung ist hierbei, dass es sich um einen linearen Zusammenhang zwischen den analysierten Merkmalen handelt. Zusätzlich wird hier ein ungerichteter Zusammenhang untersucht, d.h. die Variablen sind unabhängig voneinander und folglich werden keine kausalen Aussagen gemacht.

Der Korrelationskoeffizient r kann Werte zwischen −1 und +1 annehmen und ist unabhängig von der Maßeinheit. Ein Wert von −1 beschreibt eine perfekt negative Korrelation und ein Wert von +1 eine perfekt positive Korrelation. Bei r=0 liegt kein linearer Zusammenhang zwischen den Variablen vor.

Formel 1

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) (y_i – \bar{y})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} } \]

Formel 2

\[ r= \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i – n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 – n\bar{y}^2} } \]

Die zweite Formel ist einfacher und schneller im Taschenrechner zu berechnen.
mit
\(x_i, y_i =\) Werte der beiden Variablen x und y
\(\bar{x},\bar{y} =\) Mittelwerte der beiden Variablen x und y
\(n =\) Stichprobengrösse

Berechnung eines Beispiel

Person \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(x_i\) IQ	89	100	102	73	120	102	98	106
\(y_i\) Projekterfolg	50	60	70	40	80	72	61	73

\[\bar{x} = \frac{1}{8} \cdot (89+100+102+73+120+102+98+106) = 98.75\]

sprintf("x-quer: %.2f", 1/8*(89+100+102+73+120+102+98+106))

[1] "x-quer: 98.75"

\[\bar{y} = \frac{1}{8} \cdot (50+60+70+40+80+72+61+73) = 63.25\]

sprintf("y-quer: %.2f", 1/8*(50+60+70+40+80+72+61+73))

[1] "y-quer: 63.25"

Zähler

\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = & (89-98.75)\cdot (50-63.25)+\\ & (100-98.75)\cdot (60-63.25)+\\ & (102-98.75)\cdot (70-63.25)+\\ & (73-98.75)\cdot (40-63.25)+\\ & (120-98.75)\cdot (80-63.25)+\\ & (102-98.75)\cdot (72-63.25)+\\ & (98-98.75)\cdot (61-63.25) +\\ & (106-98.75)\cdot (73-63.25) \\ & = 1202.5 \end{align*} \]

c (89-98.75)* (50-63.25)+(100-98.75)* (60-63.25)+(102-98.75)* (70-63.25)+(73-98.75)* (40-63.25)+(120-98.75)* (80-63.25)+(102-98.75)* (72-63.25)+(98-98.75)* (61-63.25) +(106-98.75)* (73-63.25))

Nenner

\[ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} = \sqrt{(89-98.7)^2 + (100-98.7)^2 + \ldots +(106-98.7)^2} = 35.85 \]

sprintf("%.2f",sqrt((89-98.7)^2+(100-98.7)^2+(102-98.7)^2+(73-98.7)^2+(120-98.7)^2+(102-98.7)^2+(98-98.7)^2+(106-98.7)^2))

[1] "35.85"

\[ \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} = \sqrt{(50-63.25)^2 + (60-63.25)^2 + \ldots +(73-63.25)^2} = 35.064 \]

sqrt((50-63.25)^2+(60-63.25)^2+(70-63.25)^2+(40-63.25)^2+(80-63.25)^2+(72-63.25)^2+(61-63.25)^2+(73-63.25)^2)

[1] 35.06423

Korrelationskoeffizienten

\[ r= \frac{1202.5}{35.85 \cdot 35.064} = 0.95 \]

sprintf("r:%.5f", (1202.5)/(35.85 * 35.064))

[1] "r:0.95661"